Chapter
2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen
2.1 Definition von Parallelogrammen
2.2 Zur Definition uneigentlicher Parallelogramme
2.3 Eigenschaften von Parallelogrammen
2.4 Definition von Parallelverschiebungen
2.5 Einige Eigenschaften der Parallelverschiebungen
2.6 Die abelsche Gruppe der Parallelverschiebungen
2.7 Parallelverschiebungen respektieren die Kollinearitat
2.8 Parallelverschiebungen als Kollineationen
2.9 Parallelverschiebungen als Dilatationen
2.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren, Richtung von Parallelverschiebungen
2.11 Die Untergruppen Tg von T
2.12 Zusammenhang zwischen T und P, sowie zwischen Tg und Pg
2.13 Konjugationen in Gruppen
2.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Kollineationen
2.15 Algebraische Struktur der Gruppe (T, o)
2.16 Zusammenhang zwischen Parallelverschiebungen und Translationen
2.17 Operieren der Translationsgruppe T auf der Punktmenge P
2.18 Parallelgleichheit; Vektoren als Äquivalenzklassen
2.20 Ein geometrischer Beweis von Eigenschaft 2.5 (2)
3 Streckungen in (D)-Ebenen
3.1 Definition von Z-Trapezen
3.2 Zur Definition von uneigentlichen Z-Trapezen
3.3 Eigenschaften von Z-Trapezen
3.4 Definition von Streckungen
3.5 Einige Eigenschaften der Streckungen
3.6 Die Gruppe der Streckungen mit Zentrum Z
3.7 Streckungen erhalten die Kollinearität
3.8 Streckungen als Kollineationen
3.9 Streckungen als Dilatationen
3.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren von Streckungen
3.11 Zusammenhang in (D)-Ebenen zwischen der Menge aller Z-Streckungen und der Menge aller Punkte einer Geraden durch Z
3.12 Konjugation von Streckungen mit Kollineationen
3.13 Isomorphie aller Streckungsgruppen
3.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Streckungen
3.15 Zusammenhang zwischen Streckungen und Dilatationen mit einem Fixpunkt
3.16 Die Streckungsgruppe mit Zentrum Z operiert in (D)-Ebenen auf jeder Geraden durch Z
3.17 Z-Streckungsgleichheit
3.18 Ein geometrischer Beweis von Satz 3.14
3.19 (D) ist eine notwendige Voraussetzung fär Satz 3.11
4 Schiefkörper der spurtreuen Endomorphismen von T
4.1 Zwei Ergebnisse aus der Linearen Algebra
4.1.1 Der Endomorphismenring einer abelschen Gruppe
4.1.2 Abelsche Gruppen als Linksmoduln äber ihrem Endomorphismenring
4.2 Anwendung auf die abelsche Gruppe (T, o) der Parallelverschiebungen
4.3 Spurtreue Endomorphismen von (T, o)
4.4Geometrische Verhaältnisse bei der Anwendung spurtreuer Endomorphismen von (T, o) in (d)-Ebenen
4.5 Spurtreue Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen
4.6 Der Gruppenhomomorphismus konj : Dil (A) ^ Aut(T, o)
4.7 Der Schiefkörper K der spurtreuen Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen
4.8 Der einer (D)-Ebene zugeordnete Linksvektorraum KT
4.9 Eigenschaften der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen
4.10 Der Schiefkärper K der spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen
4.11 Algebraischer Beweis der Injektivitat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen
4.12 Algebraischer Beweis der Surjektivitäat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen
4.13 Algebraischer Beweis von K = Konj5o U {O} in (D)-Ebenen
5 Beziehungen zwischen (D)-Ebenen und algebraisch affinen Ebenen
5.1 Algebraisch affine Ebenen
5.1.1 Algebraische affine Raäume und Ebenen
5.1.2 Affine Standardräume
5.1.3 Unterraume eines algebraisch affinen Raumes
5.1.4 Einige Eigenschaften affiner Unterraäume
5.1.5 Semi-Affinitäten und Affinitaten zwischen affinen Raumen
5.2 Die einer algebraisch affinen Ebene A kanonisch zugeordnete (D)-Ebene G (A)
5.3 Die einer (D)-Ebene A kanonisch zugeordnete algebraisch affine Ebene F (A)
5.4 Kollineationen zwischen (D)-Ebenen induzieren Semi-Affinitäten zwischen den kanonisch zugeordneten algebraisch affinen Ebenen
5.5 Semi-Affinitaäten zwischen algebraisch affinen Ebenen induzieren Kollineationen zwischen den kanonisch zugeordneten (D)-Ebenen
5.6 Das Kompositum G o F der kanonischen Zuordnungen liefert eine Kollineation A ^ G o F (A) von (D)-Ebenen
5.7 Das Kompositum F o G der kanonischen Zuordnungen liefert eine Semi-Affinität A ^ F o G (A) algebraisch affiner Ebenen
5.7.2 Bestimmung von T(G (A))
5.7.3 Bestimmung der Untergruppen Tg von T (G (A))
5.7.4 Bestimmung des Schiefkörpers K(G (A))
5.7.5 Streckungen mit Zentrum O in G (A)
5.7.6 Semi-Affinität von A auf F (G (A))
5.8 Bijektion zwischen der Menge der Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und der Menge der Isomorphieklassen von algebraisch affinen Ebenen
5.9 Der Hauptsatz der affinen Geometrie und sein Analogon
5.10 Koordinaten in (D)-Ebenen
Ergaänzungen zu Kapitel 5
5.11 Ist der Grundkärper von A kommutativ, so gilt in G (A) der große Satz von Pappos
6 Affine Kollineationen, insbesondere axiale Kollineationen in (D)-Ebenen; Affinitäten und Achsenaffinitäten in algebraisch affinen Ebenen
6.1 Affine Kollineationen in (D)-Ebenen
6.3 Eigenschaften von (ng , a) - Vierecken
6.4 Zur Definition uneigentlicher (ng , a)-Vierecke
6.5 (ng , a) - Abbildungen
6.6 (ng , a) - Abbildungen induzieren Kollineationen
6.7 Eigenschaften der (ng , a) - Kollineationen
6.8 Axiale Kollineationen
6.9 Aquivalenz von (ng , a)-Kollineationen und axialen Kollineationen
6.10 Fundamentalsatz der affinen Geometrie in (D)-Ebenen
6.11 Komposition axialer Kollineationen mit gleicher Achse
6.12 (ng , a) - Äquivalenz
6.13 Axiale Kollineationen und Achsenaffinitäaten
6.14 Algebraische Beschreibung, insbesondere Matrizendarstellung von Achsenaffinitaäten
6.14.1 Algebraische Beschreibung von Achsenaffinitaäten
6.14.2 Matrizendarstellung von Scherungen
6.14.3 Matrizendarstellung von Achsenaffinitäaten, die keine Scherungen sind
7 Hilbertsche Streckenrechnung in (D)-Ebenen
7.2 Wiederholung aus der Algebra
7.3 Der Schiefkorper der HlLBERTschen Streckenrechnung
7.4 Geometrische Konstruktion der Addition von Strecken
7.5 Geometrische Konstruktion der Multiplikation von Strecken
7.6 Koordinaten bei der HlLBERTschen Streckenrechnung
7.7 Kennzeichnung der Geraden als lineare Mannigfaltigkeiten
7.8 Zusammenhang zwischen den Koordinaten gemäß der HlLBERTschen Streckenrechnung und unseren Koordinaten
8 Teilverhältnis und Proportionen in (D)-Ebenen
8.1 Definition und Eigenschaften des Teilverhäaltnisses
8.3 Teilverhäaltnis bei affinen Kollineationen und bei Parallelprojektionen
8.4 Proportionen in der HlLBERTschen Streckenrechnung
9 Beweise der verwendeten Zusammenhänge zwischen den Schließungssatzen
10 Konstruktive Definition von Zentralkollineationen in projektiven (D)-Ebenen
10.2 Zusammenhang zwischen projektiven und affinen Ebenen
10.3 Der Satz von Desargues in projektiven Ebenen
10.3.1 Der Satz von Desargues in projektiven Ebenen
10.3.2 Zusammenhang der beiden affinen Schließungssätze (D) und (D*)
10.3.3 Zusammenhang zwischen (Daff) und (Dproj)
10.3.4 Allgemeinere Formulierung von (Dproj)
10.5 Eigenschaften von (Z, a)-Vierecken
10.6 Zur Definition uneigentlicher (Z, a)-Vierecke
10.7 (Z, a)-Punktabbildungen
10.8 (Z, a)-Punktabbildungen induzieren Kollineationen
10.9 Zentralkollineationen in projektiven Ebenen
10.10 Äquivalenz der axiomatischen Definition von Zentralkollineationen und der konstruktiven Definition von (Z, a)-Kollineationen in projektiven (D)-Ebenen
10.11 Beziehungen der (Z, a)-Kollineationen zu den in den Kapiteln 2,
Ergaönzungen zu Kapitel 10
10.13 Komposition zentraler Kollineationen mit derselben Achse, aber verschiedenen Zentren
10.14 Äquivalenz des Schließungssatzes D(Z, a) mit der linearen Transitivität der Gruppe Z(Z,a)
10.15 Anmerkungen zur Gruppe T(a)
Affine Ebenen
：eine konstruktive Algebraisierung desarguesscher Ebenen
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